고등수학 고3수학 고2수학 확률과 통계 확통 중복조합 nHr 개념원리
오늘은 중복조합의 원리를 간단히 알아봅니다!
지저분해 보이는 공식과는 달리 원리는 별로 어렵지 않답니다
직관적으로 이해가 된다면, 공부가 쉬워질겁니다.
이 요상한 공식은 대체 무언가?
서로 다른 n개 중에서 중복을 허락하여 r개를 고릅니다.
쉽게 예를 들어 봅니다.
1, 2, 3 세 개의 숫자만 사용할 때 가능한 네 자리수는 모두 몇 개입니까?
만의 자리에 가능한 숫자는 3종류
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 3종류
백의 자리도 올 수 있는 숫자는 3종류
일의 자리역시 마찬가지로 3종류
따라서 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴ = 81가지 입니다. 이런걸 중복순열이라고 하죠?
그런데, 이러면 어때요?
빨강, 노랑, 파랑의 세 가지 색깔 공이 있습니다. 4개를 뽑는 방법은 몇 가지 일까요?
그런데, 색으로 쓰면 보기가 좀 어렵습니다. 순서를 나타내려면 역시 숫자로 쓰는게 낫죠
공에 1, 2, 3 마킹을 합니다.(많이 있습니다). 공 4개를 뽑는 서로 다른 방법은 몇 가지 일까요?
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1111
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1121
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1131
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1112
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1122
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1132
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1113
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1123
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1133
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1121과 1112를 비교해 보면 1번공 3개와 2번공 한개를 뽑았으니까, 서로 같은 경우를 여러번 카운트 했네요. 이런 일이 없도록 다시 뽑아보면 이렇게 됩니다
깔끔하게 정리해보니까 왠지 규칙적이네요.
이것을 어떻게 하면 쉽게 구할 수 있을까요?
여기서 별과 막대기 아이디어가 등장합니다.
네 자리를 만들어야 하니까 ★을 4개 늘어놓습니다
★★★★
이것을 1, 2, 3으로 구분해야 하는데 사이에 †† 두 개를 두겠습니다.
그러면 †에 의해서 ★은 3개의 팀으로 나누어질 수 있습니다.
ex) ★†★★†★
세 개로 나누어진 팀이 보이나요? 왼쪽부터 1, 2, 3을 차례로 주면 됩니다.
즉 위 예제는 1223을 나타낸 것입니다.
ex2) †★★★†★
두 팀으로 나뉘었다고요? 어쨋든 †로 나뉜 구간은 3군데 입니다.
여기서는 1이 없네요 그러면 이 예제는 2223을 나타낸 것입니다.
ex3) ★★† †★★
이번에도 †과 †사이라고 생각하면 1133을 나타냅니다.
결국 문제는 4개의 별과 2개의 †(구분자 역할)을 늘어놓는것
즉 같은 것이 있는 순열을 이용하여
를 이용해서 구할 수 있는 것입니다!!
어디서 많이 본 문제 아닙니꽈?! 이 문제는 (A득표, B득표)의 순서쌍을 늘어놓는 것 만으로도 답을 쉽게 구할 수 있습니다(순서쌍을 답이라는 것을 알아야 문제를 쉽게 풀 수 있습니다!)
6명의 유권자를 한 줄로 쭉 세우고
★★★★★★
이 문제는요?
★★★★★★★★★★††
이것을 늘여 세우면 되겠죠?
그런데 이것이 기가 막히게 ₃H₁₀ (3명을 골라라, 10명의 사람들아) 와 같다는 것을 알게됩니다!
3+10-1 = 12 니까요!
오늘은 여기까지!