중2수학, 중1수학, 피타고라스정리 증명, 삼각형의 합동, 등적변형, 높이가 같은 삼각형, 밑변이 공통인 삼각형, 유클리드의 증명
피타고라스의 정리가 무엇입니까?
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맞게 대답하는 학생이 별로 없습니다. 정확한 대답은 다음과 같습니다!
세 변의 길이가 각각 a, b, c인 직각삼각형이 있을 때(c가 빗변)
a² + b² = c² 이 참이 됩니다.
또, a² + b² = c² 가 참이 된다면, 세 수를 각각 한 변의 길이로 하는 삼각형은 직각삼각형이 됩니다.
피타고라스의 정리는 이 두 가지 명제를 일컫는 말입니다.
이제, 그림을 보면서 증명해봅시다.
첫 번째는 유클리드의 증명이라고 알려진 방법입니다. 교과서에 항상 등장하는 그 그림인데, 어려워하기도 해요.
핵심 아이디어는 넓이가 같은 4개의 삼각형을 이용하는 것입니다.
파란 삼각형과 초록 삼각형의 넓이는 같습니다. 왜 일까요?
파란 삼각형은 초록색삼각형과 밑변이 공통입니다.
한편, 높이는 C에서 부터 BD까지 의 거리이고
초록색 삼각형의 높이는 A에서 BD까지의 거리라고 할 수 있습니다.
(굵은 평행선사이의 거리는 C에서 재도, A에서 재도 달라지지 않으니까요!)
아까 그 초록색은 노란색 삼각형과도 넓이가 같습니다. 생긴것도 비슷해보이죠?
넓이만 같은 것이 아닙니다. 두 삼각형은 합동(!?) 입니다
두 삼각형 모두 정사각형의 두 변을 갖고 있으니까요
게다가, 가운데 끼인각의 크기는 직각+각ABC로 같게 됩니다!
노란색 삼각형은 빨간 삼각형과 넓이가 같습니다.
두 삼각형은 밑변을 BI로 공유하고 있고, 높이도 같기 때문입니다.
BI에 평행하도록 새로 그은 CK가 보이죠?
결론!
이 네 삼각형은 넓이가 모두 같습니다.
그런데, 파란색은 정사각형 넓이의 절반이고, 빨간색은 직사각형 넓이의 절반입니다.
따라서 핑크색과 보라색은 넓이가 같습니다.
왼쪽에 있는 정사각형도 마찬가지로 해볼 수 있습니다.
따라서 두 정사각형 넓이의 합은 아래에 있는 큰 정사각형의 넓이와 같게됩니다!
엄청 유명한 짤이죠?